Dattatreya Ramachandra Kaprekar était un mathématicien indien qui travaillait comme instituteur à Devlali, dans le Maharashtra.
Malgré sa position modeste, il a fait plusieurs découvertes remarquables en mathématiques récréatives, dont la constante 6174 est peut-être sa découverte la plus célèbre, faite en 1949.
Ce qui rend cette découverte particulièrement intéressante, c’est qu’elle montre comment des processus mathématiques apparemment aléatoires peuvent conduire à des résultats étonnamment ordonnés.

Explorons comment fonctionne cette constante. Le processus révèle un magnifique motif qui émerge de n’importe quel nombre à quatre chiffres (sauf lorsque tous les chiffres sont identiques).
Voici ce qui se passe :

Prenons un nombre à quatre chiffres.
Utilisons 3524 comme exemple pour suivre le processus :

Première itération :
Nous arrangeons les chiffres de 3524 par ordre décroissant : 5432
Puis par ordre croissant : 2345
Soustraction : 5432 – 2345 = 3087

Deuxième itération :
Arrangement décroissant de 3087 : 8730
Arrangement croissant : 0378
Soustraction : 8730 – 0378 = 8352

Troisième itération :
Arrangement décroissant de 8352 : 8532
Arrangement croissant : 2358
Soustraction : 8532 – 2358 = 6174

Si nous continuons ce processus avec 6174 :
Décroissant : 7641
Croissant : 1467
Soustraction : 7641 – 1467 = 6174

Nous avons atteint une boucle !
Ce nombre, 6174, est la constante de Kaprekar. Ce qui est remarquable, c’est que cela ne fonctionne pas uniquement pour notre nombre de départ 3524 – cela fonctionne pour n’importe quel nombre à quatre chiffres (tant qu’il n’a pas tous ses chiffres identiques, comme 1111).

Chaque nombre atteindra 6174 en 7 étapes maximum.

Pour comprendre pourquoi c’est si surprenant, considérez ce que cela signifie : parmi tous les nombres possibles à quatre chiffres, suivre ce simple processus de réarrangement et de soustraction mène toujours à la même destination. C’est comme avoir des milliers de chemins différents qui mènent tous au même point, révélant un ordre sous-jacent dans ce qui pourrait sembler être du chaos.

Cette découverte exemplifie comment les mathématiques récréatives peuvent révéler de beaux motifs cachés dans les nombres. Kaprekar a fait cette découverte grâce à l’observation patiente et l’expérimentation, montrant que les insights mathématiques profonds ne nécessitent pas toujours une formation avancée – parfois ils ne requièrent que de la curiosité et de la persévérance.

Un autre exemple :

Prenons un autre nombre de départ pour vérifier cette propriété fascinante. Choisissons un nombre complètement différent, disons 9832.

Suivons le processus étape par étape :

Première itération avec 9832 :
Arrangement décroissant : 9832
Arrangement croissant : 2389
Soustraction : 9832 – 2389 = 7443

Deuxième itération avec 7443 :
Arrangement décroissant : 7443
Arrangement croissant : 3447
Soustraction : 7443 – 3447 = 3996

Troisième itération avec 3996 :
Arrangement décroissant : 9963
Arrangement croissant : 3699
Soustraction : 9963 – 3699 = 6264

Quatrième itération avec 6264 :
Arrangement décroissant : 6642
Arrangement croissant : 2466
Soustraction : 6642 – 2466 = 4176

Cinquième itération avec 4176 :
Arrangement décroissant : 7641
Arrangement croissant : 1467
Soustraction : 7641 – 1467 = 6174

Et voilà ! Nous avons à nouveau atteint notre fameuse constante de Kaprekar. Remarquez que cette fois-ci, il nous a fallu 5 étapes pour y arriver, alors qu’avec notre exemple précédent (3524), nous y étions arrivés en 3 étapes.

Ce qui est particulièrement intéressant ici, c’est de voir comment des nombres de départ très différents finissent par converger vers 6174. C’est un peu comme si ce nombre avait une force d’attraction mathématique.

Commençons par comprendre la structure fondamentale :

Dans un nombre à 4 chiffres, quand nous faisons la soustraction entre l’arrangement décroissant et l’arrangement croissant, nous créons en fait une sorte de « déséquilibre maximal » entre les chiffres. Prenons un exemple simple :

Pour 8234 :
Grand nombre (décroissant) : 8432
Petit nombre (croissant) : 2348
La différence 8432 – 2348 représente le plus grand écart possible qu’on peut créer avec ces quatre chiffres.

Ce qui est crucial, c’est que cette opération a plusieurs effets :

  • Elle génère toujours un nombre non nul (sauf pour les nombres comme 1111)
  • Le résultat a toujours au moins deux chiffres différents
  • La différence est toujours inférieure à 9000

Mais pourquoi 6174 spécifiquement ?

C’est parce que 6174 a une propriété unique : quand vous l’arrangez en ordre décroissant (7641) et en ordre croissant (1467), leur différence redonne 6174.

7641 – 1467 = 6174

C’est comme une boucle parfaite. Et plus important encore, tous les autres nombres à 4 chiffres, quand ils passent par ce processus, finissent par « tomber » dans cette boucle. C’est un peu comme un entonnoir mathématique : tous les chemins mènent à 6174.

Pour comprendre pourquoi c’est inévitable, pensons aux possibilités :

  • La différence ne peut jamais dépasser 9999 – 1111 = 8888
  • Elle ne peut jamais être inférieure à 1000 (car on utilise toujours tous les chiffres)
  • Le processus réduit progressivement les « grands » nombres et augmente les « petits »

C’est comme si le processus « compressait » tous les nombres vers ce point d’équilibre unique qu’est 6174.